元朝行使宰相职权的政府机构是中书省。这个名字可能对很多人来说不是很熟悉，但它在历史上扮演了非常重要的角色。

中书省，简称“中书”，是元朝时期的一种中央行政机构，它主要负责辅佐皇帝处理国家大事，行使宰相职权。这个机构的设立，可以说是在中国封建社会的一次重大变革中诞生的。在元朝之前，一直都是以太尉、司空等九卿来辅佐皇帝进行决策和管理国政。但随着时间的推移，这种制度逐渐显得过时，而需要一种更为灵活和高效的管理方式。

于是，在忽必烈登基之初，他就开始了一系列改革措施，其中包括设置新的中央政府部门——即中书省。这一新体制不仅将宰相职能集中到一个机构内，还进一步加强了皇帝对中央集权的控制力，同时也提高了行政效率。

在中书省内部，不同的人物担任不同的职务，他们分别负责处理各种国家事务。其中最重要的是“左丞”和“右丞”，他们可以说是实际掌管宰相大印的人物，对于处理紧急情况具有不可替代的地位。此外，还有其他多个部门，如尚书、门下、枢密院等，每个部门都有其专门负责的事务范围。

通过这样的组织结构，元朝能够迅速响应国内外挑战，并且在经济发展、文化交流以及军事征服方面取得了一系列成就。不过，由于这种制度设计较为复杂，也存在一定的问题，比如地方官员与中央之间关系紧张，以及中央集权导致的地方自主性减弱等问题，都成为后来需要解决的问题。

总而言之，元朝行使宰相职权的政府机构，即中书省，是当时中国历史上的一个转折点，它标志着中国政治制度向更加集中化和现代化方向迈出了一大步。