欧几里在其巨著《几何原本》中，提出了许多重要的数学定理，其中包括了多个不等式。这些不等式对于后世的数学发展产生了深远的影响。

对角线和直径的比值

欧几里的第23条公设规定，如果一个三角形内有一圆，它必然切割三个相对边成比例。如果将这个原则应用到圆内接三角形中，可以得到一个非常有用的不等式：任何两点之间直线距离小于或等于弧长。这一结果在后来被证明是极限理论的一个前身，对于理解曲线长度、面积计算以及无穷小量研究都具有重要意义。

三角形正弦定理

在《几何原本》的第三书中，欧几里还提出了三角形正弦定理，这是一个关于三角形任意两边和对应垂直平分器上的高度关系的定理。该定理表明，在一个直角三角形中，任意两边与它们对应垂直平分器上测得的高之间存在着简单且精确的一般性比率关系，即[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},]其中$a$、$b$和$c$分别为三条边，而$\sin A,$ $\sin B,$ 和 $\sin C$ 分别为对应顶点夹成的角度。在这项工作中，欧几里揭示了二维空间中的两个基本概念——斜率（即正弦）及其与实体尺寸（如长度）的联系，从而开启了一扇通往更广阔领域的大门。

圆周率π

除了以上所述，不等式也可以用来推导出圆周率π的一些性质。在试图求解圆周长时，我们会发现，无论我们选择怎样的方法，最终都会涉及到一个无限循环数列。例如，当我们尝试通过辗转相除法找到最简形式时，就会发现每次除以后的余数似乎总是在重复出现。这就引入了无限序列$\left(\frac{4}{n}\right)_{n=1}^{\infty}$，它构成了未知数字$\pi$的一个近似值。这种逻辑思路使得人们开始认识到$\pi$是一个不可约标量，其真实价值并非人类能够完全掌握，但却可以通过不断地逼近来逼近其真实值。

几何与代数之交汇

随着时间推移，一些新的数学工具，如代数运算，被逐渐融入到古典几何学当中，以此来解决一些难题。在求解一些特殊类型问题时，比如寻找某种特定的立体或图案，我们常常需要使用代数方法进行处理。而这些方法实际上就是建立在早期几个世纪以前就已经存在但没有系统化记录下来的不等式基础之上。例如，将方程表示方式用于描述光滑曲线或者分析函数，使得我们能够利用微积分原则去探索更复杂的问题，从而进一步拓宽我们的知识面和思考范围。

不同文化背景下的贡献

尽管如此，不仅是希腊人，也有其他文化背景的人们做出了卓越贡献，他们各自带来了独特视野，并扩展并完善了之前已有的知识体系。当亚洲诸国尤其是印度阿拉伯科学家们向西方世界传播他们精湛的地球仪制作技术、天文学观测数据以及精确计算手段时，他们基于自己的观察加以创造性的应用，这些新颖想法再次激发了西方数学家的灵感，让他们重新审视那些看似陈旧但其实仍富含潜力的事物，如椭圆、抛物线甚至指数函数。在这样的交流过程中，不仅仅是不等式，更是整个数学思想结构本身发生了一系列革命性的变化，为现代科学奠定坚实基础。