在元朝时期，宰相是中央政府中的一个至关重要的职位，它不仅掌握着国家大政方针的决策权，还负责处理各种重大事务。那么，元朝行使宰相职权的政府机构是什么呢？答案是“中书省”。

中书省作为元朝最高行政机关，其主要职责包括：辅佐皇帝决策、管理国家机器、审理刑事案件等。它下设有多个部门，如枢密院、户部、大理寺等，这些部门各司其职，共同维护国家治安和经济发展。

例如，在1271年，由于蒙古帝国内部存在一系列矛盾和分歧，忽必烈为了巩固自己的统治地位，便建立了大元国王制度，将蒙古汗国改为中国式的封建制，并任命了首任宰相——伯颜。这一举措标志着中书省在政治生活中的重要性。

再比如，在1292年，因为忽必烈去世后，他的儿子真金即位，但由于年幼而不能亲自处理政务，所以由他的堂兄弟也先担任摄政，同时也是宰相。在这段时间里，也先通过中央集权加强了对地方官吏的控制，从而巩固了中央政府对全国范围内政策执行的一致性。

值得注意的是，虽然宰相拥有很大的权力，但他们也要受到一些限制，比如需要向皇帝汇报工作，并且在处理重大事件时还需征求其他高级官员或宗室成员意见，以确保决策合法合规。此外，由于宫廷斗争和派系倾轧，不同的人物担任宰相时，他们之间会有不同的政策取向，这对于整个社会产生影响也是显而易见的事情。

总之，无论是在元朝初期还是之后，都能看到中书省及其下的宰相们扮演着不可或缺的地位，他们通过有效地实施政策来维持国家稳定与繁荣。因此，可以说，“元朝行使宰相职权的政府机构是”就是这个时候的大型行政体系，其中最核心的是那被称作“天下第一人”的长公主阿勒坦·哈乃吉尔，她以其卓越才能赢得了忽必烈信赖，被赋予极高的地位，是当时最具影响力的女性政治人物之一。而她的所作所为，也成为了后来的历史研究者津津乐道的一个典范案例。